On considère le nombre complexe `Z= (1+isqrt(3))^4/(1-i)^3 `

1) Déterminer les racines d'ordre `4` et les racines d'ordre `5` du nombre `Z`

2) a) Déterminer sous forme trigonométrique , puis sous forme algébriques , les racines sixièmes de 1

b) Calculer `(1-i)^6` et déduire les racines sixième de `8i`

c) Déduire les valeurs de ` cos((pi)/(12))` et ` sin((pi)/(12))`

3) Résoudre dans `C` l'équation `(E) : z^6 -(1+2i)z^3 -1+i = 0 `

1) Déterminer les racines d'ordre `4` et les racines d'ordre `5` du nombre `Z= (1+isqrt(3))^4/(1-i)^3 `

forme trigonométrique du nombre complexe `Z`

on a `abs(1+isqrt(3)) = sqrt(1+sqrt(3)^2)= 2 `

`=> 1+isqrt(3) = 2(1/2 + i(sqrt(3))/2)`

` = 2 ( cos((pi)/3) + isin((pi)/3))`

` = [2 ,(pi)/3]`

`=> 1+isqrt(3) = [2 , (pi)/3] `

alors `(1+isqrt(3))^4 = [ 2,(pi)/3]^4 = [2^4 , (4pi)/3] = [16 , (4pi)/3]`

`=> (1+isqrt(3))^4 = [16 , (4pi)/3] `

on a ` abs(1-i)= sqrt(1^2+(-1)^2)= sqrt(2) `

alors `1-i = sqrt(2) (1/(sqrt(2)) -1/(sqrt(2)) )`

` = sqrt(2) ( cos((-pi)/4) + isin((-pi)/4))`

`= [sqrt(2) , -(pi)/4]`

`=> 1-i = [sqrt(2) , -(pi)/4] `

et par suite `(1-i)^3 = [sqrt(2) , -(pi)/4]^3 = [sqrt(2)^3 -3(pi)/4] = [2sqrt(2) , -(3pi)/4]`

`=>( 1-i )^3 = [2sqrt(2) , -(3pi)/4 ]`

alors `Z= [ (16)/(2sqrt(2)) ,(4pi)/3 - (-(3pi)/4) ] `

` = [ 4sqrt(2) , (25pi)/(12)]`

`=> Z = [ 4sqrt(2) , (25pi)/(12)]`

alors les racines d'ordre `4` du nombre complexe `Z` sont ` [ (4sqrt(2))^(1/4) , 1/4(25pi)/(12) +(2kpi)/4 ] ; k in {0,1,2,3} `

les racines d'ordre `5` du nombre complexe `Z` sont ` [ (4sqrt(2))^(1/5) , 1/5(25pi)/(12) +(2kpi)/5 ] ; k in {0,1,2,3,4} `

2) a) Déterminer sous forme trigonométrique , puis sous forme algébriques , les racines sixièmes de 1

on a ` 1 = [1, 0] `

alors les racines sixièmes de `1` sont `[1^(1/6) , 0/6+(2kpi)/6 ] ; k in { 0,1,2,3,4,5} `

`=> ` les racines sixièmes de `1` sont `[1 , (kpi)/3 ] ; k in { 0,1,2,3,4,5} `

formes trigonométriques des racines :

`=> z_0 = [1,0] `

`=> z_1 = [1,(pi)/3] `

`=>z_2 = [1 ,(2pi)/3] `

`=>z_3 = [1 , pi ] `

`=> z_4= [ 1 , (4pi)/3] = [1, -(2pi)/3 ] `

`=> z_5 = [1 , (5pi)/3] = [ 1 , (-pi)/3 ] `

les formes algébriques des racines sixième du nombre complexe `1 ` :

`z_0 = cos(0) + isin(0)=1 `

`z_1 = cos((pi)/3) + isin((pi)/3)= 1/2 + isqrt(3)/2 `

` z_2 = cos((2pi)/3) + isin((2pi)/3)= -1/2 + isqrt(3)/2 `

`z_3 = cos(pi) +sin(pi) = -1 `

`z_4 = bar(z_2)= -1/2 - isqrt(3)/2 `

`z_5 = bar(z_1) = 1/2 -i(sqrt(3))/2 `

2c) Déduire les valeurs de ` cos((pi)/(12))` et ` sin((pi)/(12))`

on a `Z_1 = (1-i)z_1 = [ sqrt(2) ,(-pi)/4] [1 ,(pi)/3] `

` = [ sqrt(2) , (pi)/(12)] `

` = sqrt(2) ( cos((pi)/(12)) + isin((pi)/(12))) `

d'autre part on a `Z_1 = (sqrt(3) +1)/2 +(sqrt(3) -1)/2i `

alors ` sqrt(2) ( cos((pi)/(12)) + isin((pi)/(12))) = (sqrt(3) +1)/2 +(sqrt(3) -1)/2i `

`<=> cos((pi)/(12)) = (sqrt(3) +1)/(2sqrt(2)) ` et ` sin((pi)/(12)) = (sqrt(3) -1)/(2sqrt(2))`